洪荒：我鸿钧，镇杀穿越者 上点实际的强度

不可达基数（是强弱不可达基数的统称。如果K是不可数的、正则的极限基数，则称是弱不可达基数。如果是不可数的、正则的强极限基数，则称K是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数（或不可到达基数）。不可达基数是强弱不可达基数的统称。如果k是不可数的、正则的极限基数，则称k是弱不可达基数；如果k是不可数的、正则的强极限基数，则称k是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数（或不可到达基数），也有文献只把强不可达基数称为不可达基数。不可达基数的概念是波兰数学家谢尔品斯基(Sierpiski,W.）和波兰学者塔尔斯基(Tarski,A.）于1930年引入的。由于任何基数入的后继基数入＋不超过入的幂2入，所以每个强不可达基数必为弱不可达基数；又由于在广义连续统假设GCH之下，入＋=2入，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数。之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来到达它们。事实上，若k是强不可达基数，又集合X的基数IXlN0，且对任何入＜k有2入＜k,k就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。

正则基数

正则基数是一种特殊基数。如果a为极限序数，且cf(a)=a，则称a为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将w称为正则基数，将Na+1称为正则序数。正则性是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫(Hausdorff,F.）于1908年引入。关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于w的正则基数？一方面，由选择公理知，N1,N2,...,Na+1都是大于w的正则基数。另一方面，以色列集合论学家吉帖克（Gitik,M.)于1979年在假定存在某种大基数真类的情况下，证明了不存在大于w的正则基数，也是和ZF系统相容的。基数，亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔（Cantor,G.(F.P.)）之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x,x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念．德国数学家、数理逻辑学家弗雷格（Frege,(F.L.)G.）与英国数理逻辑学家罗素（Russell,B.A.W.）将集合的基数（势）定义为在等势关系下该集合所在的等价类．这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数．在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x]:[3]1．若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。2.若不然，则定义|xl为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。如果某个集合的基数是a，则如此定义的基数满足|x|=|yl，当且仅当x≈y．定义1是由美籍匈牙利数学家冯．诺伊曼（vonNeumann,J.）于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|s|y|。如果|x|≤|y|且|yl≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔﹣伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数a，存在大于a的最小良序基数，记为a。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得Va0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。

超强基数

当且仅当存在基本嵌入j：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)?M

类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j:V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)?M。Akihiro

Kanamori已经表明，对于每个n0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。

强紧致基数

当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。

强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。

强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。

强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

超紧致基数

如果M?M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。假设N是一个ZFC的模型,δ是一个超紧基数,如果对任意λδ,存在Pδ(λ)一个δ-完全的正则精良超滤U满足

伊卡诺斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。

公理I3~I0。I3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。I0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点λ公理。

莱因哈特基数

莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点

j:V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.

还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定伯克利基数

伯克利基数

伯克利基数基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：

对于包含κ和ακ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α临界点κ.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的

j1，j2，j3....j1:(Vκ，∈)→(Vκ,∈),j2:（Vκ，∈,j1)→(Vκ,∈，j1)，j3:(Vκ,∈，j1,j2)→(Vκ，∈,j1,j2)等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数λ，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。义的类

不可达基数＜＜＜......＜＜＜马洛基数＜＜＜......＜＜＜弱紧致基数＜＜＜......＜＜＜不可描述基数＜＜＜......＜＜＜强可展开基数＜＜＜......＜＜＜拉姆齐基数＜＜＜......＜＜＜强拉姆齐基数＜＜＜......＜＜＜可测基数＜＜＜......＜＜＜强基数＜＜＜......＜＜＜伍丁基数＜＜＜......＜＜＜超强基数＜＜＜......＜＜＜强紧致基数＜＜＜......＜＜＜超紧致基数＜＜＜......＜＜＜可扩基数＜＜＜......＜＜＜殆巨大基数＜＜＜......＜＜＜巨大基数＜＜＜......＜＜＜超巨大基数＜＜＜......＜＜＜，n-巨大基数＜＜＜......＜＜＜0＝1莱茵哈特基数＜＜＜......＜＜＜伯克利基数＜＜＜......＜＜＜一切大基数＜＜＜......＜＜＜终极V＝UltimateL

大基数公理的极限还远远没有止步于伯克利基数，在未来，必将还会出现更多更强的大基数...而所有大基数似乎对于终极数学宇宙L、冯·诺依曼宇宙V也是非常的渺小...

终极数学宇宙L相当于一切已知和未知的大基数模型设终极数学宇宙L为一个内模型，而有了内模型自然有外模型而冯·诺依曼宇宙V在集合论中相当于一个最高的理想外模型

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