洪荒：我鸿钧，镇杀穿越者 上点强度2

可构造宇宙V=L：

定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u?,u?,u?,……∈X使得

x={y∈X:φ?[y,u?,u?,u?,……]

然后：

L?=?

L?=Def(L1)={?}=1

Ln+1=Def(Ln)=n

Lω=∪＿kωLω

Lλ=∪＿kλλisalimitordinal

λ是极限序数

L=∪＿kLk，k跑遍所有序数

遗传序数可定义宇宙HODs：

HOD?=V

HOD??1=HOD???^?

HOD^ω=∩＿nωHOD?

H?=V

H^α+1=HOD?^?

HOD^η=∩αηHOD^α

对所有HODs的脱殊扩张

gHOD=∩HOD^V[G]

或许还有：

序数宇宙V=ON

良序宇宙V=WO

良基宇宙V=WF

于是可能：

V=L=ON=WO=WF=HOD=Ord=终极L=…………

脱殊扩张V(V[G])：

脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。

P-name宇宙V

令P为一个拥有

rank(P)=rω假设P-names通过一个flatpairingfunction来构造。那么对于任意的V上的G?P-generic以及对于任意的a≥r×w有V[G]?=V?[G]

令f为一个固定的的flatpairingfunction;再递归地构造一个宇宙：

V??=?

Vλ?=∪＿α?Vα?

Vα+1?=P(Vα?×P)

V?=∪＿α∈OrdVα?

宇宙V=终极L：

V=终极L的前置条件：

一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。

一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。

一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。

V=终极-L是一个多元一阶算术集合论。

存在V=终极-L的有限公理化。

存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。

对于每一个超紧致基数的极限基数λ,ADλ成立。

伊卡洛斯基数之下的每一个≥I0基数的真类初等嵌入具有三歧性。

如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的ω?序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。

见证普遍分区公理成立。

见证强普遍分区公理成立。

终极L是一个典范内模型，并见证地面公理GroundAxiom成立。

V=终极L的直接推论：

见证最大基数伊卡洛斯的存在性。

见证真类多的武丁基数

终极L是最大的内模型。

见证能够和选择公理兼容的最大的类-ADR公理，并且θ是正则的。

拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）

见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言

见证Ω猜想成立

见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。

见证ZF+Reinhardt不一致。

存在非平凡初等嵌入j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)).

V是最小的脱殊复宇宙。

见证广义连续统假设成立，并且ω?上有一个均匀预饱和理想。

见证正常力迫公理成立。

存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential语句φ若φ在V中成立那么存在一个universallyBaire集AR使得有

HOD????‘??∩V＿Θ?φ

其中Θ=Θ???‘??(A,R).(V=终极L）

绝对无穷Ω：

理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数

在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落

不要与序数中的第一不可序列数搞混

关于绝对无限有两个的性质：

反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。

假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。

不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。

引证康托尔所说:

实际无限在三个上下文中出现:首先在它被认识于最完善的形式中，在完全独立的其他世界的存在中，“inDeo”的时候，这里我称呼它为绝对无限或简单的称为无限；其次在它偶然性的出现在神造世界中的时候；第三在精神“在观念上”把它掌握为数学上的量、数或序类型的时候。

康托尔还在著名的1899年7月28日给RichardDedekind的信中提到了这个想法*:

一个多重列(multiplicity)被称为良序的，如果它符合所有子列都有第一个元素的条件；我把这种多重列简称为序列。我正视所有数的系统并把它指示为Ω。系统Ω依照量是“序列”而处于它的自然排序下。让我们毗连0作为给这个序列的一个额外元素，如果我们设置这个0在第一个位置上则Ω*仍是序列...通过它你可欣然的自我确信，出现在其中的所有的数都是所有它前面元素的序列的序数。Ω*(因此还有Ω)不能是相容的多重列。因为如果Ω*是相容的，则作为良序集合，数Δ将属于它，而它将大于系统Ω的所有的数；但是数Δ还属于系统Ω，因为由所有的数组成。所以Δ将大于Δ，这是一个矛盾。所以所有序数的系统Ω是不相容的，绝对无限多重列。

推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。

复宇宙：

假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：

⑴可数化公理

⑵伪良基公理

⑶可实现公理

⑷力迫扩张公理

⑸嵌入回溯公理

对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。

对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G?P为V-generico

对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V?Wθ?W

对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。

从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的

简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。

在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。

则N’∈V?

简单说，V?是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。

如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements(给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。

也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。

复复宇宙：

存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。

就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙

于是我们可以继续，得到复复复宇宙理论基础，那么我们进一步：复复复复宇宙，复复复复复复……宇宙

逻辑多元：V-逻辑(V-logic)V-逻辑具有以下的常元符号：aˉ表示V的每一个集合aVˉ表示宇宙全体集合容器V在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：图里面的作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号aˉ和表示V本身的常元符号Vˉ，而且还有一个常元符号Wˉ来表示V的外模型我们增加以下新公理。1.宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。2.Wˉ是ZFC的一个传递模型，包含Vˉ作为子集，并且与V有相同的序数。因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中Vˉ被正确地解释为V，Wˉ被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在V+=Lα(V)内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“Wˉ满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在V+中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西……

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